Derivati: gli otto passaggi chiave della serie, dal future a Black-Scholes

✍️ Redazione•Pubblicato 15/10/2026•Aggiornato 15/10/2026•12 min di lettura

Derivati: gli otto passaggi chiave della serie, dal future a Black-Scholes

Contenuto a scopo esclusivamente educativo e informativo. Non costituisce consulenza in materia di investimenti, raccomandazione né sollecitazione. I derivati sono strumenti complessi e possono comportare perdite anche superiori al capitale investito. Gli esempi numerici sono ipotetici.

La serie video sui derivati conta ormai una dozzina di episodi, e non serve riassumerli tutti. Qui ci sono gli otto passaggi che reggono il resto: quelli da avere chiari prima di guardare un modello di prezzo o di leggere il prospetto di un prodotto strutturato. Ogni passaggio rimanda all'episodio che lo tratta per esteso, con video e scheda, nella pagina della serie.

1. Il future funziona senza fiducia

Un contratto a termine privato regge finché la controparte resta solvibile. Il future parte dal presupposto opposto: la fiducia non serve. Tra compratore e venditore si mette una clearing house, e ogni sera la posizione viene rivalutata al prezzo di chiusura. Chi ha perso versa, chi ha guadagnato incassa. Se il conto scende sotto il margine di mantenimento arriva la richiesta di reintegro.

La conseguenza è curiosa. Il sistema nel suo insieme diventa più sicuro, perché nessuna perdita si accumula per mesi senza essere pagata; il singolo operatore invece è più esposto, perché con un margine del 10% un calo del 3% del sottostante si porta via il 30% di quanto ha versato. → Episodio 2

2. Coprirsi riduce il rischio, non lo cancella

Chi copre un'esposizione con un future scambia il rischio di prezzo con un rischio più piccolo e diverso, il rischio di base: la differenza tra prezzo a pronti e prezzo del future nel giorno in cui la copertura si chiude. Il numero di contratti che rende minima la varianza della posizione coperta dipende da correlazione e volatilità:

h^{*} = \rho\,\frac{\sigma_S}{\sigma_F}

Con una correlazione di 0,9 e volatilità del 2% e del 2,5%, il rapporto ottimo è 0,72, non 1. Per un portafoglio azionario lo stesso ruolo lo gioca il beta rispetto all'indice. In entrambi i casi le stime vengono dal passato e possono tradire proprio quando la copertura serve di più. → Episodio 3

3. Il prezzo a termine è un conto, non una previsione

Comprare il sottostante oggi e tenerlo fino alla scadenza deve costare quanto comprarlo a termine. Se non fosse così, qualcuno comprerebbe dove costa meno e venderebbe dove costa di più fino a chiudere la differenza. Da qui la formula del cost of carry:

F_0 = S_0\, e^{(r-q)T}

dove $q$ è il rendimento da dividendi per un indice, il tasso estero per una valuta, oppure il convenience yield al netto dei costi di stoccaggio per una materia prima. Con l'indice a 100, il tasso al 4% e i dividendi al 2%, il prezzo a un anno è circa 102,02. Un future più alto dello spot non dice che il mercato si aspetta un rialzo: dice che il denaro costa più di quanto rendano i dividendi. → Episodio 5

4. Il rischio di tasso si misura in euro per punto base

Per un portafoglio obbligazionario la domanda utile è concreta: quanti euro si perdono se i rendimenti salgono di un punto base? È il DV01.

\text{DV01} = P \cdot D_{mod} \cdot 0{,}0001

Dieci milioni con duration modificata 6 fanno 6.000 € per punto base; se un future sui titoli di Stato ha un DV01 di 90 €, la copertura richiede circa 67 contratti. Vale per piccoli spostamenti paralleli della curva, e solo per quelli. Lo swap su tassi lavora sulla stessa leva: chi paga fisso e riceve variabile ha in mano, di fatto, un'obbligazione a tasso variabile comprata e una a tasso fisso venduta, e il valore dello swap è la differenza tra le due. → Episodio 6 · Episodio 7

5. Un'opzione è un'asimmetria, e l'asimmetria si paga

Il future guadagna e perde in linea retta. L'opzione comprata no: sopra lo strike la call segue il sottostante, sotto si ferma al premio pagato.

\text{call} = \max(S_T - K,\,0) \qquad \text{put} = \max(K - S_T,\,0)

Quella forma piegata ha un prezzo. Il premio contiene il valore intrinseco e un valore temporale che paga la possibilità di movimenti favorevoli prima della scadenza, e che si consuma giorno dopo giorno. Dall'altra parte, chi vende l'opzione incassa il premio e si prende il rischio che il compratore ha scaricato. Le strategie con più gambe (covered call, protective put, spread, straddle) non creano valore dal nulla: spostano guadagni e perdite da una zona all'altra del grafico, e quelle che sembrano quasi sicure di solito nascondono una perdita rara ma ampia. → Episodio 8 · Episodio 10

6. Call e put sono legate da un vincolo

Prima di qualsiasi modello esiste una relazione che non lascia margini di opinione. Una call più un deposito pari allo strike attualizzato rendono a scadenza esattamente quanto una put più il sottostante, quindi oggi devono costare uguale:

c + K e^{-rT} = p + S_0

Con sottostante e strike a 100, tasso al 3% e un anno di vita, se la call vale 10 la put deve valere 7,04. Se i prezzi in una catena di opzioni non rispettano la parità, al netto di costi e dividendi, c'è un errore da qualche parte. → Episodio 9

7. Si prezza replicando

Il passaggio concettuale più importante della serie è anche il più semplice da vedere sull'albero binomiale. Se il sottostante a 100 può salire a 110 o scendere a 90, mezza azione meno una call con strike 100 vale 45 in entrambi i casi. Un portafoglio senza rischio deve rendere il tasso privo di rischio; con il 5% vale oggi 42,81, e la call vale quindi 50 meno 42,81, cioè 7,19.

Nel calcolo non entra mai la probabilità che il prezzo salga. Entra solo ciò che si può comprare e vendere oggi. È la stessa idea che regge i modelli più complessi, e spiega perché il prezzo di un'opzione non dipende dall'ottimismo di chi la compra. Il numero di azioni che rende il portafoglio senza rischio, qui 0,5, è il delta. → Episodio 11

8. Black-Scholes e la volatilità implicita

Se i passi dell'albero diventano infinitesimi, il sottostante segue un moto browniano geometrico: l'incertezza cresce con la radice del tempo e il logaritmo del prezzo ha distribuzione normale. Una volatilità annua del 20% diventa circa il 5,8% su un mese. Dal lemma di Itô si arriva alla formula di Black-Scholes:

c = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)

Dei cinque ingredienti, quattro si osservano sul mercato; la volatilità no. Per questo il mercato usa la formula al contrario: parte dal prezzo e ricava la volatilità implicita. Con sottostante e strike a 100, tasso al 3% e volatilità al 20%, la call vale circa 9,41; se quota 10,50, il mercato sta prezzando una volatilità vicina al 22,8%. Che la volatilità implicita cambi da uno strike all'altro, lo smile, è il segno più visibile dei limiti del modello: salti, code spesse, volatilità che non resta ferma. → Episodio 12 · Episodio 13

Il filo che li lega

Gli otto passaggi raccontano la stessa idea da angoli diversi. Il prezzo di un derivato non dipende da quello che pensiamo succederà, ma da quello che si può replicare oggi con strumenti già quotati, e l'arbitraggio è il meccanismo che tiene insieme i prezzi. Capirlo non rende i derivati meno rischiosi. Aiuta però a riconoscere quando un prodotto promette qualcosa che i conti non permettono.

Gli episodi completi, con una scheda per ciascuno, sono nella serie Strumenti derivati. Per le basi: Derivati: cosa sono e come funzionano.

Fonti

J. C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives, 10ª ed., capp. 2-7 e 10-15 · Borsa Italiana, glossario dei derivati.

Le informazioni hanno scopo esclusivamente educativo. Non costituiscono raccomandazione né consulenza personalizzata. Le performance passate non garantiscono risultati futuri.